Quadratische Gleichungen und Funktionen – Arbeitsblätter zum Ausdrucken
Quadratische Gleichungen lösen – reinquadratisch, durch Ausklammern, mit pq- oder abc-Formel und mit dem Satz von Vieta – und Parabeln untersuchen: Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform, durch quadratische Ergänzung und am Graphen.
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Quadratische Gleichungen und Funktionen: einfach erklärt
Eine quadratische Gleichung enthält x² – sie hat zwei, eine oder keine Lösung. Die zugehörige Funktion y = ax² + bx + c hat als Graph eine Parabel mit einem Scheitelpunkt.
So gehst du vor
- Reinquadratisch (x² = 49): Wurzel ziehen und beide Vorzeichen beachten: x₁ = −7, x₂ = 7. Ohne Absolutglied (x² − 5x = 0): x ausklammern, x · (x − 5) = 0, also x₁ = 0, x₂ = 5.
- pq-Formel für x² + px + q = 0: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Ist der Wert unter der Wurzel (die Diskriminante) negativ, gibt es keine Lösung, ist er 0, genau eine.
- Scheitelpunktform y = a(x − d)² + e: Der Scheitelpunkt ist S(d | e). Ist a positiv, ist die Parabel nach oben offen, sonst nach unten.
Ein Beispiel, Schritt für Schritt
Löse x² − 2x − 15 = 0.
- p = −2 und q = −15, also p/2 = −1.
- x = 1 ± √(1 + 15) = 1 ± 4.
- x₁ = −3 und x₂ = 5. Probe: 25 − 10 − 15 = 0.
Weitere Varianten verstehen
Satz von Vieta
Für x² + px + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Bei x² − 2x − 15 = 0: −3 + 5 = 2 und −3 · 5 = −15. Daraus folgt auch die Produktform (x + 3)(x − 5) = 0.
abc-Formel
Für ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a). Bei 2x² + 5x − 12 = 0: x = (−5 ± √121) : 4, also x₁ = −4 und x₂ = 1,5.
Quadratische Ergänzung
y = x² − 6x + 11 = x² − 6x + 9 − 9 + 11 = (x − 3)² + 2. Der Scheitelpunkt ist S(3 | 2).
Parabel verschieben
y = (x − 3)² + 2 ist die Normalparabel, um 3 nach rechts und um 2 nach oben verschoben. Achtung: (x + 3)² bedeutet 3 nach links.
Jetzt du
Löse x² + 4x − 12 = 0.
Lösung und Rechenweg anzeigen
p/2 = 2: x = −2 ± √(4 + 12) = −2 ± 4, also x₁ = −6 und x₂ = 2. Vieta: −6 + 2 = −4 = −p und −6 · 2 = −12 = q.
Fertige Vorlagen mit Quadratische Gleichungen und Funktionen
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